கடையில் கால்குலஸ் வாங்குவோமா

கடற்கரை, பாஸ் என்ற பாஸ்கரன் அடுத்து சென்னைவாசிகள் கூடிக் கார்களுக்கிடையே கால்பதித்து கட்டௌட்டுகளுக்கிடையே ஊடாடி, செத்த மரங்களுக்கிடையே சித்தம் களிப்புற, இந்த வருடமும் ”புத்தகக் காட்சி” இரண்டு வாரங்களாக அமோகமாக நடந்தது. அன்றாடம் பகலில் கண் அசரும் இடத்தை விட்டு அகலாமல், முன்னே இருக்கும் மாயக்கண்ணாடியில் கூகுள்-எர்த் வழியாக தொடர் ஸூம்-ஷாட்டாய் க்ளிக்கிப் பார்க்கையில், இந்த புத்தகச் சந்தையில் நம் விஞ்ஞானப்புலவர் விளங்கமுடியாக்கவிஞர்நான் (அதான் பெயர்) குடும்ப சமேதராக வாயிலில் நிற்பதை காண்கிறோம்.

பாரதியார், விவேகானந்தர், ஷேக்ஸ்பியர், மற்றும் காரக்கடலை விற்கும் பாதைகள் என நாற்திசையிலும் புத்தகக்காட்சியினுள் பயணித்து, ஓபாமா, ஓஸாமா போன்றோர் எழுதியுள்ள பல நல்ல தமிழ் புத்தகங்களை வாங்கி வீட்டில் பதுக்குவதென மனதிற்கொண்டு, எண்சீர் கழிநெடிலடி ஆசிரியவிருத்தத்தில் வேற்றுநாட்டரசரின் இடைநிலை ஊழியரைப்புகழ்ந்தேற்றிய தன் விஞ்ஞானப்புலமைக்கு தக்க சன்மானமாகப் பெற்ற பொற்கழியில் காற்கழியோடு வந்திருக்கிறார் வி.மு.கவி.

வி.மு.கவியிடம் உள்ள காற்கழியின் பணம் என்னும் விஷயத்தை P என்று குறிப்போம். அவர் செல்ஃபோனில் உள்ள கடிகாரம் காட்டும் அவகாசத்தை, நேரத்தை t என்று குறிப்போம்.

வி.மு.கவி அரங்கினுள் சுற்றித்திரிந்த இரண்டு மணிநேரம் கழித்து t என்னாச்சுப்பா என்றால் ஆறிப்போச்சு என்று சொல்லாமல், t = 2 மணி நேரம் என்போம். இரண்டு மணிநேரத்தில் வி.மு.கவியிடம் பணம் P என்னாச்சு என்றால், செலவழிந்துபோச்சு என்கிறார். அத்தனையுமா? இல்லை, ஒரளவு. எவ்வளவு? 20000 ரூபாய்.

என்னாது, அப்ப மணிக்கு 10000 ரூபாய் செலவழிச்சிருக்கியா. அப்டீனா நிமிஷத்துக்கு கிட்டத்தட்ட 16 ரூபாய் 60 காசு. கை சொடுக்குற நொடிக்கு 30 பைசா செலவழிச்சிருக்கியா… அடப்பாவி புலவா, மனசுக்குள்ள பாரதியார்ன்னு நெனப்பா…

இப்படி வி.மு.கவியை நாமும் செல்லம்மாள் கணக்கா, செல்லமா மனதிற்குள் வையலாம். செய்துவிட்டு இதில் வரும் எண்களை கவனியுங்கள். ஒவ்வொரு நேர அவகாசத்திற்குள் செலவான ரூபாய்களையும் சட்டென்று கணக்கிட்டு சொல்லிவிட்டோம் இல்லையா.

ஆகமொத்தம் நொடிக்கு முப்பது பைசா செலவு என்பதை குறிப்பதற்கு

frac{P}{t} = 30 பைசா — (1)

என்று எழுதினால் அது அல்ஜீப்ரா.

கணித புத்தகங்களில் இதன் செய்முறையை இப்படி எழுதியிருப்பர்

huge{frac{Delta f}{Delta x} = frac{f(x + h) - f(x)}{h}}

அதாவது, ஒரு மாறி (வேரியபிள்) f இன் மாற்றம், தான் சார்ந்துள்ள சுயேச்சையாக மாறக்கூடிய (independent variable) x என்கிற மாறியின் மாற்றம், இவைகளின் பின்னம் (fraction). மாறி x இல் எவ்வளவு மாற்றம் என்பதை h குறிப்பிடுகிறது. இது அல்ஜீப்ரா.

இது என்ன சார் பிரமாதம், சாதா வகுத்தல். புலவர்களுக்கு என்ன, கம்பன் வீட்டுக் கட்டுத்தறிக்கும் தெரியும் (அது கவி பாடலாம், ஜுஜுபி வகுத்தல் செய்யக்கூடாதா?). இப்படிச்சொல்வோம்.

ஆனால், இதே வகுத்தலை இப்படி

frac{dP}{dt} = 30 பைசா — (2)

எழுதினால், பட்டா தல சுத்துது மகா என்று ஜகா வாங்குவோம். ஏனெனில், அது (டிஃபெரென்ஷியல்) கால்குலஸ். பொதுஜனத்திற்கு உபயோகமற்ற கணித வஸ்து. இந்த மாதிரி மாத்ஸெல்லாம் ஏந்தான் படிக்கசொல்லி படுத்தராங்கலோ. எங்க சார் வாழ்கைல இத யூஸ் பன்னப்போறேன் நான்?

கூடவே, மேலே உள்ள பின்னத்தில் மேலும்கீழுமுள்ள அந்த இரண்டு d யையும் அடித்துவிட்டால், P/t என்று வருமே, அது முன்போல அல்ஜீப்ராதானே என்றும் மனதிற்குள் கேட்டுக்கொள்வோம் (நேரில் வாத்தியார் முறைப்பார்).

மேலே அல்ஜீப்ரா, கால்குலஸ் என்று குறிப்பிட்டு எழுதியுள்ள இரண்டு விகிதங்களுக்கும் என்ன வித்தியாசம்? அதாவது, அல்ஜீப்ரா வழியாக சுலபமாக மனக்கணக்காக கண்டுபிடித்த அதே விடையை மீண்டும் ஏன் கால்குலஸ் வழியாக விழிபிதுங்கவேண்டும்?

அல்ஜீப்ரா வழியாக (இந்த உதாரண கணக்கில்) கண்டுபிடித்த விடை, ஒரு சராசரி மட்டுமே. கால்குலஸ் வழியாக குறித்துள்ள, கண்டுபிடிக்கமுடிந்த, விடை ஒவ்வொரு நொடியிலும் மாறக்கூடியது. மாற்றியமைக்கமுடிந்தது. விளக்குவோம்.

அல்ஜீப்ரா வழியாக ஒரு நொடியில் செலவான பணத்தை கண்டுபிடிக்க நமக்குத்தேவை மொத்த செலவான பணத்தின் மதிப்பும், அது செலவானதற்கான மொத்த நேரத்தின் மதிப்புமே. ஆனால், ”நொடிக்கு 30 பைசா செலவு” என்கிற இந்த விடையை வைத்து மட்டும் மொத்த அவகாசத்தில் (இங்கு 2 மணிநேரம்) எந்தெந்த நொடியில், எவ்வளவு பணம் செலவானது என்று சொல்லிவிடமுடியாது. மாற்றிச்சொன்னால், விடை நொடிக்கு 30 பைசா செலவு என்பதற்காக, நிஜத்தில், 2 மணிநேரம் முழுவதும் வி.மு.கவி நொடிக்கு ஒருதரம் ஜேப்பியிலிருந்து 30 பைசா எடுத்து புத்தகக்கடைக்காரர்களிடம் கொடுத்துக்கொண்டே இருந்தார் என்று சொல்லமாட்டோம் இல்லையா.

மொத்த 2 மணிநேர அவகாசத்தில் ஏதோ சில நிமிடங்கள் ஒரு சில புத்தகக்கடைகளில் மொத்தமாக 1000 ரூபாயோ, 50 ரூபாயோ அவர் செலவழித்ததையெல்லாம் மொத்தமாகக்கூட்டி (20000 ரூபாய்), மொத்த அவகாசத்தினால் (2 மணி நேரம்) வகுத்தால் கிடைப்பதே நம் நொடிக்கு 30 பைசா செலவு என்கிற விடை.

அதாவது, ஒவ்வொரு நொடியாக, 2 மணிநேரம் மொத்தத்திற்கும் செலவை அளந்தால், பல நொடிகளில் செலவு பூஜ்ஜியம் என்றும், (நெஜமாகவே கடையில் செலவு செய்யும் அவகாசத்திற்கான) ஒரு சில நொடிகளில் மட்டும் சில பண மதிப்பும் வரும். இதையெல்லாம் மேலே சொன்னபடி கூட்டி, பிறகு மொத்த நேரத்தினால் வகுத்தால், விடை. அதனால் அல்ஜீப்ரா வழியாக கிடைக்கும் இந்த விடை, ஒவ்வொரு நொடிக்குமான செலவுகளின் ஒரு வகையான சராசரி.

ஆனால் கால்குலஸ் விடை இப்படியில்லை. கால்குலஸ் குறிகளை வைத்து எழுதியுள்ள சமன்பாடே, அது (இந்த உதாரணத்தில்) ஒரு நொடிக்கு, அந்த க்ஷணத்திற்கு (instant) மட்டும் பொருந்தும் மதிப்பு என்பதை குறிக்கிறது. எந்த நொடி, க்ஷணம், என்பதை இனி நாம் குறிப்பிட வேண்டும். அதோடு, அடுத்த க்ஷணத்தில் இந்த கால்குலஸ் விகிதம் 40 பைசா என்றோ, பூஜ்ஜியம் என்றோ வேறு மதிப்பிற்கு மாறலாம். (டிஃபெரென்ஷியல்) கால்குலஸின் மகத்துவமே இந்த நுணுக்கம்தான்.

தொடர்ந்து மாறிக்கொண்டே இருக்கும் f என்கிற ஒரு ‘மாறி’யின் (வேரியபிளின்), அது ஒவ்வொரு அவகாசதுளியிலும் மாறி மாறி ஏற்றுக்கொண்டேபோகும் மதிப்புகளை குறித்துக்கொண்டேயிருப்பதுதான் கால்குலஸ் வழியாக எழுதும் சமன்பாட்டின் நோக்கம். இது சராசரி விகிதத்தை குறிக்காமல், அப்போதைய, அல்லது அந்த க்ஷணத்தில் மதிப்பை (instantaneous value) குறிக்கும்.

கணித புத்தகங்களில் இதை கீழுள்ளவாறு எழுதுவார்கள்.

f'(x) = lim _{h rightarrow 0} lbrace frac{f(x + h) - f(x)}{h}rbrace

(1. மேலுள்ளதை எஃப் டாஷ் ஆஃப் எக்ஸ் ஈக்குவல்ஸ், லிமிட் ஹெச் டெண்ட்ஸ் டு சீரோ என்று தொடங்கி படிப்பார்கள்…

2. க்ஷணம் என்பதால் எப்போதும் கால (நேர) அவகாசத்தை குறிக்கும் என்று பொருளல்ல. க்ஷணம் என்றால் அப்போதைய என்பது கற்பிதம். மாறி t யிற்கு பதில், மேலே குறிப்பிட்டுள்ளவாறு x ஆகவும் இருக்கலாம்.)

நம் பணச்செலவு – அதற்காகும் நேரம் என்கிற உதாரணத்தில், செலவுசெய்வதற்கான அவகாசம் மிகக்குறைந்து கிட்டத்தட்ட பூஜ்ஜியம் என்று இருக்கையில் செலவு என்னவோ அதுதான் கால்குலஸின் f’(x). இதை பணச்செலவின் அல்லது பண-மாற்றத்தின் கதி (instantaneous rate of change of panam or money) எனலாம்.

ஏன் பண-மாற்றம் என்று குறிக்கிறோம் என்றால், பணம் செலவாகலாம் (குறையலாம்), வரவாகலாம் (அதிகமாகலாம்). இரண்டும் மாற்றமே. மேலுள்ளதில் பொதுவாக instantaneous என்னும் பதத்தை பள்ளிப் புத்தகங்களில் தொடக்கத்தில் ஒருமுறை குறிப்பிட்டுவிட்டு விட்டுவிடுவார்கள்.

நம் உதாரணத்தில் தோன்றும் பண-மாற்றத்தின் கதியை, க்ஷணத்தில் கணக்கிட்டால், (செலவு) பூஜ்ஜியம்தானே வரும் என்று தோன்றலாம். ஆனால், கடைக்காரரிடம் புத்தகம் வாங்கி பில் பணம் கொடுக்கும் அந்த க்ஷணத்தை யோசித்தால், இந்த f’(x) (அல்லது P’(t)) பூஜ்ஜியம் வராது என்று விளங்கும். அதேபோல், (புத்தகம் வாங்காத) மற்ற தருணங்களில் f’(x) (அல்லது P’(t)) மதிப்பு பூஜ்ஜியம் வரலாம்.

ஆனால் அல்ஜீப்ராவில் யோசித்துப்பாருங்கள். மொத்த அளவுகளை வைத்து மட்டும் கணக்கிடுவதால், வி.மு.கவி புத்தகச்காட்சியினுள் திரியும் மொத்த அவகாசத்திற்கும், எப்போதும் நொடிக்கு 30 பைசா என்ற சராசரியான விகித மதிப்பு மட்டுமே நமக்கு விடையாக இருக்கும்.

கால்குலஸை வைத்து இதே உதாரணத்தில் மேலும் பயனுள்ள விடைகள் தேடலாம். ஒவ்வொரு க்ஷணத்திலும் மாறும் f’(x) (அல்லது P’(t)) என்பதால், முதலில் நம் உதாரணத்தில் அதை ஒரு வழிக்கு கொண்டு வருவோம். அதாவது, நம் உதாரணத்தில், வி.மு.கவி புத்தகச்சந்தையினுள் இருக்கும் 2 மணிநேரத்தின் அனைத்து க்ஷணங்களிலும் அவரது பணமாற்ற-கதி P’(t) = dP/dt = 0.3 ரூபாய்கள் (30 பைசா) என்றே வைத்துக்கொள்வோம். இந்த அனுமானத்தினால் நமக்கு சுயேச்சையாக மாறும் t யின் மாற்றத்தினால், அதைச்சார்ந்து மாறும் P ஒவ்வொரு க்ஷணத்திலும் எவ்வகையில் மாறுகிறது என்று தெரிந்துவிட்டது.

இப்படி அனுமானித்துக்கொள்வதால் கால்குலஸின் எதிர்காலத்தை கணிக்கும் ஜோஸ்ய மகத்துவம் விளங்கும். மேலும், இறுதி விடை (20000 ரூபாய்) முன்னரே தெரியும் என்பதால் இப்படி எடுத்துக்கொள்கிறேன்.

இப்போது 60ஆவது நொடியில் வி.மு.கவி எவ்வளவு செலவு செய்திருப்பார் என்று கேட்டால், கால்குலஸால் பதில் சொல்லமுடியும். அதற்கு இண்டக்ரேஷன் என்கிற அஸ்திரத்தை பிரயோகிக்கவேண்டும். (பள்ளிப் பாடம்தான்; மறந்திருந்தால் பாதகமில்லை. கீழே விடையைமட்டும் பார்த்துக்கொண்டு தொடருங்கள்)

P'(t) = dP/dt = 0.3

60ஆவது நொடியில் ஆகியிருக்கும் செலவு

huge{int} _{P(t=0s)} ^{P(t=60s)} {dP} = 0.3 timesint _{t=0} ^{t=60s} {dt}

அதாவது

P (t=60s) = 0.3 times t vert _0 ^{60} = 0.3 times 60 = 18 text{Rs}

அதாவது, 60ஆவது நொடியில் (முதல் நிமிடத்தின் இறுதியில்) வி.மு.கவி 18 ரூபாய்கள் செலவழித்திருப்பார் (ஏன் 16 ரூபாய் 60 காசுகள் வராமல், 18 ரூபாய் வருகிறது என்பது உங்கள் யூகத்திற்கு. விடை கால்குலஸில் இல்லை).

இங்கு கவனித்தால் நாம் செய்திருப்பது, செலவின் க்ஷண-மாற்றம் dP/dt = 0.3 ரூபாய் என்பதைத்தானே தொடர்ந்து 60 விநாடிகள் வரை கூட்டி (தொடர் கூட்டல் = பெருக்கல்), விடையை 18 ரூபாய் என்று “இண்டக்ரேஷன்” வழியாக கண்டுபிடித்துள்ளோம்.

இதையே 2 மணிநேரத்திற்கு நீட்டினால், செலவு (கிட்டத்தட்ட) 20000 ரூபாய் வரும்.

எப்படி கால்குலஸ் ஜோஸ்யம்? இது அனைத்து க்ஷணங்களிலும் 30 பைசாக்கள் செலவாகிக்கொண்டேயிருக்கிறது என்கிற அனுமானத்தில் கிடைத்த கால்குலஸ் பதில். ஆனால், முன்னர் பார்த்ததுபோல இப்படி தொடர் செலவு செய்வது நிஜத்துடன் ஒவ்வாது. அதான் இம்மாதிரி தினவாழ்கையின் கணித தேவைகளுக்கு அல்ஜீப்ராவுடன் நிறுத்திவிடுகிறோம்.

உண்மையில், கால்குலஸின் நிஜப்பரிமாணம், பயன்கள், இவ்வகை தினவாழ்கை கணிதத்தில் இல்லை. ஒரு வீம்பிற்கு, விளக்கத் தேவைக்கு வேண்டுமானால், மேலே கட்டுரையில் நான் உபயோகித்துள்ளதுபோல செய்யலாம். ஆனால் இவ்வகை முயற்சிகள் மூட்டைப்பூச்சியை நசுக்க அர்ஜுன் டாங்கியை உபயோகிப்பது போல. இது க்ளிஷே உதாரணம் என்றால், ரங்குஸ்கி கொசுவை அடிக்க, சிட்டி எந்திரனை கூப்பிடுவது போல. கால்குலஸின் பயன்களை அடுத்த பகுதிகளில் விவாதிப்போம்.

மேலே டிஃபெரென்ஷியல் மற்றும் இண்டக்ரேஷன் இவற்றின் செய்முறையை கவனித்தீர்களென்றால் புலப்படுவது, டிஃபெரென்ஷியல் என்பது ஒருவகையில் அல்ஜீப்ராவிலிருந்து மேம்பட்ட, திறம்பட, நுண்ணிய மாற்றங்களைக்கொண்டு செய்யும் வகுத்தல் (அல்லது தொடர் கழித்தல்). இண்டக்ரேஷன் என்பது அதேவகையில் நுண்ணிய மாற்றங்களைவைத்து செய்யும் மேம்பட்ட பெருக்கல் அல்லது தொடர் கூட்டல்.

***

(விளங்கமுடியாக்கவிஞன்நான் கடையில் கால்குலஸ் வாங்கியதை தொடருவோம்.)