டர்புலன்ஸ் ஒரு அறிமுகம் – பாகம் 4

திரவ ஓட்டத்தில் அமளிக்கு காரணம் விஸ்காசிட்டி, அதாவது பாகுநிலையின் வீரியத்தில் உள்ளது என்றும், அமளி ஓட்டம் என்பது பல சைஸ் சுழல்களால் ஆனது என்றும் மூன்றாவது பாகத்தில் பார்த்தோம். பல சைஸ்களில் ஓடும் சுழல்களின் ஊடே திரவ ஓட்டத்தின் இயக்க ஆற்றல் பெரியசுழலில் இருந்து சிறியவைகளுக்கு தொடர்ந்து மாற்றலாகி, இறுதியில் மாலிக்கியூலர் லெவலில் அளக்கமுடியாத வெப்பமாக மாறி விரயமாகிவிடுகிறது. அமளியாக ஓட்டம் இருப்பதற்கு அதனால் நாம் தொடர்ந்து ஆற்றலை ஊட்டிக்கொண்டே இருக்கவேண்டும், குழாயாக இருந்தால், மோட்டார் பம்பின் மூலம்.

சரி, இவ்வாறு தொட்ட இடத்திலெல்லாம் மாறிக்கொண்டே இருக்கும் வேகங்களை கொண்ட அமளிஓட்டத்தை எப்படி அறுதி இடுவது? இந்த வேகங்களை அளக்க முடியாதா? இதை வைத்து அமளி எங்கு எப்படி நிகழும் என்று அறியமுடியாதா? இயற்கையை புரிந்துகொள்ள இயற்பியல் துறையில் பிற இடங்களில் அணுகுவதைபோல கணித-மாதிரிகளை கொண்டு இந்த அமளியை விளக்க, அனுமானிக்க, கட்டுப்படுத்த முடியாதா? அனைத்து கேள்விகளுக்கும் பதில், ஓரளவு முடியும் என்பதே.

இதில் இளக்காரம் இல்லை.

இயற்கையிடம் என்றுமே நாம் தோற்றுக்கொண்டுதானிருக்கிறோம். பெறும் வெற்றியெல்லாம், இயற்கையாய் பார்த்து, சில தருணங்களில் தன்னை மனிதனே புரிந்துகொள்ளக்கூடிய எளிமையான விஷயங்களாக வெளிப்படுத்திக்கொண்டு அருளியதே. ஒரளவு முடிந்த இவ்வகை புரிதலால்தான் விமானங்களை உடலிலும், இறக்கையிலும், அமளியை கட்டுப்படுத்தி உபயோகிக்கும்படி வடிவமைத்து பறக்கவிட்டுள்ளோம். அதிவேக ஜெட்விமானத்திலும் எரிபொருள் மிச்சம்பிடிக்க. யேரோடினமிக் டிசைனர் மூக்கும் உடலும் கொண்ட கார்கள், 150 மைல் வேகத்தில் ஜெர்மனி ஆட்டோபானிலும், இரவில் சென்னை அண்ணா சாலையிலும் பறக்கையில் அமளியை கட்டுப்பாட்டிற்குள் வைத்திருக்கிறது. சென்ற பாகத்தில் விவரிக்கப்பட்ட ஹேர்டிரையரும் இவ்வகையில் அமளி பற்றி ஒரளவு புரிந்ததால்தான், வடிவமைக்கப்பட்டுள்ளது.

சரி, அப்புறம் என்ன ஒரளவு மட்டும்? ஏன் ஓரளவு மட்டுமே புரிகிறது? பார்ப்போம். இதற்கு முதலில் திடப்பொருளில் (solid) இருந்து திரவங்கள் எவ்வாறு மாறுபடுகிறது என்பதில் தொடங்குவோம். கலங்காதீர்கள், மொத்தமாக பள்ளிப் பாடம் நடத்தப்போவதில்லை. அமளி ஓட்டத்தை விளக்கத் தேவையான மாற்றங்களை மட்டுமே எடுத்துக்கொள்ளுவோம்.

விசைகொண்டு முடுக்கி செலுத்தப்பட்ட ஒரு கனமான திடப்பொருள் எவ்வாறு பயணிக்கும் என்று எப்போதும் பலிப்பதுபோல் ஜோஸ்யம் சொல்வது நியூட்டனின் இயக்க விதிகள் என்று தெரியும். அந்த விதிகளை வைத்துக்கொண்டு திடப்பொருள் ஒரு முடுக்கத்தில் (acceleration) எவ்வளவு தூரம் போகும் என்பதை அனுமானிக்க முடியும். திடப்பொருள் ஒரு திசையில் மொத்தமாக ஒரு வேகத்தில்தான் செல்லும். அளப்பது சுலபம்.

அரைச்செங்கலை எடுத்து ரோட்டில் ஒருவரை குறிபார்த்து அடிக்கையில், செங்கல் மொத்தமும் ஒரே எறிந்த திசையில் பயணித்து, மற்றொருவர் மேல் படுகிறதே. அந்த பயண தூரத்தை கணக்கிடுவதற்கு நியூட்டனின் இயக்க விதிகளை பொருத்துவது சுலபம். ஏனெனில் செங்கல் வேகம் வேண்டுமெனில், மொத்த செங்கலுக்கும் ஒரே மதிப்புதான்.

அதைப்போல, பல்சார் பைக் மணிக்கு நூத்தியிருவது கிலோமீட்டரில் பறந்து எச்சுமி பாட்டிமேல் மோதி நொறுங்கியது, பாட்டி நலம் என்று படிக்கிறோமே. அச்செய்தியில் வரும் வேக அளவு பைக் மொத்தத்திற்கும் ஒன்றுதான். ஆனால் இதேபோல திரவங்களில் அளப்பது கடினம். இல்லையேல் எச்சுமி பாட்டி பதிலுக்கு பைக் ஓட்டியின் மீது காரித் துப்பிய எச்சிலின் வேகம் என்ன என்றும் படித்திருப்போம்.

ஓடுகையில் திரவங்கள் மேனிமுழுவதும் பல இடங்களில் பல வேகத்தில் அலைபாயும். எல்லா இடத்திலும் வேகத்தை அளந்து ஒரு வேக விநியோகத்தை முதலில் கணக்கிடவேண்டும். பிறகு அளந்ததையெல்லாம் முடுக்கத்துடனும் உந்துவிசையுடனும் (driving force) தொடர்புசெய்து திரவம் எவ்வாறு எத்திசையில் செல்லும் என்று துல்லியமாக அனுமானிக்க வேண்டும். கடினம். சுமாராக செய்யலாம். ஆனால் இதற்கும் நியூட்டனின் இரண்டாம் விதிதான் பயன்படும். என்ன, திரவத்தின் எல்லா பகுதியிலும் பிரயோகிக்கவேண்டும். இப்படி முப்பரிமாணத்திலும் திருந்திய ரூபத்தில் திரவங்களுக்கு ஏதுவாக நியூட்டனின் விதியை சொல்லியவர்கள் நேவியர் (Navier) மற்றும் ஸ்டோக்ஸ் (Stokes) ஆவர். முப்பரிமாணத்தில் பார்ஷியல் டிஃபெரன்ஷியல் ஈக்குவேஷன் என்பார்களே, அப்படிப்பட்ட இருபடிய பகுதிய நுண்பகுப்பு சமன்பாடு. பூச்சி பூச்சியாக ஈக்குவேஷனெல்லாம் போட்டால் படிப்பீர்களோ? நிச்சயம் படிப்பீர்கள்.

திரவங்களின் ஓட்டத்தை புரிந்துகொள்ள பயன்படும், நேவியர்-ஸ்டோக்ஸ் சமன்பாடு என்று அழைக்கப்படும், நியூட்டனின் இரண்டாம் விதி இப்படி இருக்கும்

தமிழில் விளக்குவோம். P என்றால் பிரஷர், அழுத்தம்; U என்றால் வேகம்; x என்றால் திசை-இடக்குறி; t என்றால் நேரம்; மிச்சம் உள்ள i மற்றும் j திசைகளையும், அவற்றில் வேகங்களையும் குறிப்பிடுவதற்கு இருக்கும் லேபில்கள். சரி, சமன்பாட்டில் அனைவருக்கும் புரிந்ததில் தொடங்குவோம். நடுவில் சமன் குறி இருக்கிறது பாருங்கள், அதற்கு இடப்புறம் இரண்டு டெர்ம்களும் (terms), வலப்புறம் இரண்டு டெர்ம்களும் இருக்கிறது. சமன் குறியின் இரண்டு பக்கத்தில் இருக்கும் டெர்ம்ஸ்களையும் தராசின் இரண்டு தட்டுக்களில் பகிர்ந்து வைத்தால், தராசின் முள் சாயாமல் நடுவில் நிற்கும். மேலே சமன்பாட்டில், சமன்குறி அதைத்தான் குறிப்பிடுகிறது.

அடுத்து, திடப்பொருளுக்கு நியூட்டனின் இரண்டாம் விதி பார்ப்பதற்கு F = m x a என்று சிம்பிளாக இருக்கும். நமக்கு பள்ளிப்பாடத்திலேயே தெரியும். அதைப்போல, திரவங்களுக்கு, மேலே சமன்பாட்டில், மூன்றாவது டெர்ம்தான் F, முதல் இரண்டு டெர்ம்களும் சேர்ந்து m x a. ஏற்கனவே குறிப்பிட்டபடி திரவங்களில் பகுதிகளும் வெவ்வேறு வேகங்களில் செல்லமுடிவதினால், அதன் முடுக்கம் (ஆக்சிலரேஷன்), வேகத்தை நேரத்தால் வகுப்பதால் மட்டும் (முதல் டெர்ம் – திடப்பொருளுக்கும் பொருந்துவது) வரும் விளைவாக இல்லாமல், வேகத்தின் இட மாற்றத்தையும் (இரண்டாவது டெர்ம்) கணக்கில் கொண்டு வருகிறது (திடப்பொருளில் இந்த மாற்றம் கிடையாது).

சரி, அப்ப கடைசி (நான்காவது) டெர்ம் என்ன செய்கிறது?  அதில்தான் பாகுநிலை இருக்கிறது. திடப்பொருளுக்கு ஒரு பரப்பின் மீது பயணிக்கையில் உராய்வு விசையை கணக்கிடுவோமே, அதுபோல பாகுநிலை டெர்ம் திரவங்களுக்கு செயல்படுகிறது. இந்த உராய்வு திரவத்திற்கும் சுற்றியுள்ள சுவருக்கும் (குழாய்களில், உட்சுவர்) ஏற்படுவது.

ஒரு குழாயினுள் திரவம் ஓடுகிறது என்றால், திடப்பொருளுக்கு நியூட்டனின் இரண்டாம் விதிபோல, மேலே சமன்பாட்டில், மூன்றாவது டெர்மின் மதிப்பும், மற்ற மூன்று டெர்ம்களின் கூட்டுத்தொகையும் மதிப்பில் ஒன்றாகவும், பிளஸ் மைனஸ் குறியில் எதிராகவும் இருக்கிறது என்று பொருள்.

அவ்ளோதாங்க நேவியர்-ஸ்டோக்ஸ் சமன்பாடு. இப்போதைக்கு இந்த விளக்கம் போதும்.

திரவங்களுக்கு பாகுநிலையே இல்லை என்றால், உராய்வே இல்லாத பயணம். பாகுநிலையற்ற, உராய்வற்ற, திரவங்களுக்கு குழாயினுள் செல்ல பம்புசெட்டில் மோட்டாருக்கு கரண்ட் தேவையில்லை. நிஜத்தில் அனைத்து திரவங்களுக்கும் பாகுநிலை உண்டு. அமளியினால் கரண்ட் பில் எகிறும்.

சீரோட்டம் போன்ற எளிதான திரவ ஓட்ட தருணங்களுக்கு இந்த கால்குலஸ் சமன்பாட்டிற்கு தீர்வு இருக்கிறது. தீர்வு என்றால், இந்த விசை கொடுத்தால் திரவம் இந்த திசையில் இப்படித்தான் ஓடும் என்ற கணக்கிட முடியும். உதாரணத்திற்கு வட்டமான குறுக்குவெட்டு குழாயில் பரவளையம் (Parabola) போன்ற வேக விநியோகத்தில் செல்லும் என்பது நேவியர்-ஸ்டோக்ஸ் சமன்பாட்டின் ஒரு வகை தீர்வே. ஏற்கனவே படத்துடன் விளக்கியபடி, சீரோட்டத்திற்கு மட்டும் பொருந்தும். மீண்டும் கீழே படத்தில் விளக்கத்தை பார்த்துக்கொள்ளுங்கள்.

ஆனால் அமளி ஓட்டத்தையும் அனுமானிக்கும் விதமாக இந்த நேவியர்-ஸ்டோக்ஸ் சமன்பாட்டிற்கு சகலவிதங்களிலும் பொதுவான ஒரு விடை, தீர்வு, இன்னும் கண்டுபிடிக்கப்படவில்லை. இதைத்தான் அமளி (டர்புலன்ஸ்) இன்னும் விடைகாண முடியாத விஷயம் என்று அறிவியலார்கள் கூறுகிறார்கள். மில்லிணியம் ப்ராப்ளம்களில் இதுவும் ஒன்று. யாரேனும் நேவியர்-ஸ்டோக்ஸ் சமன்பாட்டிற்கு பொதுவான தீர்வு கண்டுபிடித்தால் மில்லியன் டாலர் பணக்காரராவதுடன், விஞ்ஞான உலகில் நித்யசூரியாவது நிச்சயம். இப்படி முயன்று பணக்காரராவதற்கு லாட்டரிசீட்டு வாங்கியே ஏழையாகலாம் என்பது என் அபிப்ராயம்.

தொடர்வோம்