மாவு மிஷினும் மோபியஸ் பட்டையும்

சிறுவயதில் கமர்கட்டோ, இலந்தைவடையோ கையூட்டாக பெற்று, அம்மாவிற்காக பக்கத்து கடைவரை சென்று மாவு அரைத்து வந்ததுண்டா? மாவுமெஷின் கடையில் மோட்டாரிலிருந்து மாவரைக்கும் ஜகடையை இணைக்கும் கன்வேயர் பெல்ட்டை பார்த்திருக்கிறீர்களா? என்றால், நான் இங்கு எழுதப்போகும் வஸ்துவுடன் உங்களுக்கு பரிச்சயம் இருக்கும்.

இதுவரை இவ்வகை வீடுபேற்றில் திளைத்தெழுந்ததில்லையெனில், வீட்டிற்கருகே மாவுமெஷின்கடை இருந்தால் ஒரு எட்டு போய் பார்த்துவிட்டு வந்து தொடர்ந்து படியுங்கள். அதற்கும் முடியாமல் வீட்டைச்சுற்றி பொட்டல் காடாய் புலம்பெயர்ந்திருப்பவர்களுக்கு, இடம், பொருள், ஏவல், தவிடு சூழ நான் குறிப்பிடும் மாவுமெஷின், அருகில் படத்தில் காட்டியுள்ளதுபோல இருக்கும்.


ricemill

சரி, விஷயத்திற்கு வருவோம். படத்தில் ஒரு விநோதம் கவனித்தீர்களா; மோட்டார் ஷாஃப்டையும் அரைக்கும் ஜகடையையும் கோர்த்து இணைக்கும் பெல்ட் பட்டை நேராக இல்லாமல், நடுவில் ஒரு முறுகலோடு (மடக்கி, மாற்றிப்போட்டு) இருக்கிறது. மோட்டார் இயங்குகையிலும் பெல்ட் இவ்வாறே பயணிக்கும். 

இப்படிச் செய்ய மாவுமிஷின்காரருக்கு எளிய காரணங்கள் இருந்தாலும், இயற்பியல் புரிதலில் ஒரு சுவையான காரணம் கூறலாம். முறுகலில்லாமல் (மடக்கி போடாமல்) பெல்ட்டை நேராக அணிவித்தால், தொடர்ந்து சுற்றுவதினால் ஏற்படும் மோட்டார்-பெல்ட் இடையேயான உராய்வு பெல்டின் ஒரு (கீழ்) பகுதியிலேயே இயங்கும். ஒரு முறுகலோடு அணிவித்தால், விந்தையாக, உராய்வு பெல்டின் மேல், கீழ் பரப்பு அனைத்திலும் பகிரப்படும்.

ஒரு பாதி முறுகலோடு இருக்கும் பெல்ட்டிற்கு, மேல், கீழ் என தனியாக பக்கம் பிரிக்கமுடியாது. மேல்தான் கீழ்; கீழ்தான் மேல். மாற்றிச்சொன்னால், உட்புறம்தான் வெளிப்புறம்; வெளிப்புறம்தான் உட்புறம். மங்காத்தா வார்த்தைகளில் உள்ளே(தான்) வெளியே.

இவ்வாறு, (பட்டையின் தடிமனை கணக்கில் கொள்ளாமல்) இருபரிமாணத்தில் உள்ளே-வெளியே வித்தியாசமற்று இருக்கும் பட்டை ஒரு கணித விந்தை பொருள். பெயர், மோபியஸ் பட்டை.

இவ்வகை பட்டையின் தனித்தன்மைகளை கண்டுணர்ந்த கணிதவியலாளர் மோபியஸ்(1790-1868). இடவியல் (டோப்பாலஜி), வரைகோலவியல் (கிராஃப் தியரி) என்று சென்ற இரு கட்டுரைகளிலும் பரப்புகள் அவற்றின் குணங்கள் பற்றியும் அலசினோம். இடவியல் வார்த்தைகளில் சொன்னால் மோபியஸ் பட்டை ஓர்பரப்பு பொருள்.

மேலேசெல்லும்முன் பட்டையை வீட்டிலேயே செய்துபார்த்துவிடலாம். அக்கம் பக்கம் குழந்தைகளையும் ஆட்டத்தில் சேர்த்துக்கொள்ளுங்கள். தாய்மார்கள் வாழ்த்துவர்.

அருகில் படத்தில் உள்ளபடி பேப்பரில் நீளமான இரண்டு துண்டுகளை வெட்டிக்கொள்ளுங்கள். அகலமும் சற்று தாராளமாக இருக்கட்டும். இரண்டு பக்கமும் (மேல்-கீழ், அல்லது உள்-வெளி புறம்) அடையாளம் தெரிய வேறு நிறங்களில் ஓரமாக புள்ளிவைத்துக்கொள்ளுங்கள் (படத்தில் பிங்க் மற்றும் பச்சை புள்ளிகள்).

mobius1

ஒரு பட்டையை மடக்கி, ஓரத்தில் அதே நிறப் புள்ளிகள் சேர்ந்துவருமாறு ஒட்டுங்கள். வெளிவரும் பொருள் ஓரு துண்டிக்கப்பட்ட, சிறிய உருளையாக இருக்கும்.

mobius3

மற்றொரு காகிதப்பட்டையை ஒரு அரைச்சுற்று மடக்கி இரு முனைகளையும் ஒட்டுங்கள். இப்படி செய்கையில் வேற்றுநிறப்புள்ளிகள் இருக்கும் ஓரங்களை சேர்த்திருப்பீர்கள். வெளிவரும் பொருள் உருளை இல்லை. இதுதான் மோபியஸ் பட்டை.

mobius2

உருளைக்கு உள்ளே, வெளியே என இரண்டு பரப்பை சரியாக பிரித்துப் பார்க்கமுடியும். மோபியஸ் பட்டைக்கு ஒரே பக்கம்தான். வேண்டுமானால் பென்சிலைவைத்து ஒர் இடத்தில் தொடங்கி பட்டையை சுற்றி கோடு போட்டுக்கொண்டே வந்து, தொடங்கிய இடத்தில் சேருங்கள். விஷயம் விளங்கும். மோபியஸ் பட்டையின் ஒருபுறத்தை மட்டும் பெயிண்ட் அடிக்க காசு வாங்கி ஏமாறாதீர்கள்.

அதேபோல் ஒரு மோபியஸ் பட்டையை இரண்டாக்கித்தருகிறேன் என்றும் (அருகில் இருக்கும் குழந்தைகளிடம்) ரீல் விடாதீர்கள். ஏன் முடியாது என்று பரிசோதிப்போம். கையில் உள்ள உருளையின் குறுக்கே கத்தரிகொண்டு வெட்டுங்கள். வெட்டு தொடங்கிய இடத்திற்கே வந்தவுடன், முதல் உருளையைவிட அகலத்தில் இளைத்த இரண்டு உருளைகள் கிடைக்கும், இல்லையா.

mobius4

இதேபோல் மோபியஸ் பட்டையை குறுக்கே வெட்டுங்கள். கிடைப்பது இளைத்த இரண்டு… இல்லை, இல்லை, இளைத்த ஒரு, ஆனால் முன்னைக்காட்டிலும் பெரிய, மோபியஸ் பட்டை. கவனித்தால், இந்த பெரிய மோபியஸ் பட்டையில் இரண்டு முறுக்கு இருக்கும்.

mobius7

நீண்டு இருக்கும் இந்த மோபியஸ் பட்டையிலும் குறுக்காக இன்னொருமுறை வெட்டலாம். இவ்வாறு வெட்டிக் கிடைக்கும் வெட்டியான பொருள்… அனுமானிக்கமுடியாதது. இரண்டு 8 எண்ணை குறுக்காக சேர்த்ததுபோல இப்படி இருக்கும் (படத்தில் ஒரு 8 படுக்கைவாட்டிலும், மற்றொன்று நீட்டவாக்கிலும் இருக்கிறது).

mobius8

மோபியஸ் பட்டையை வைத்து பல எளிய சோதனைகள் இவ்வகையில் செய்யலாம். நம் கத்தரி குடலாபரேஷனை இத்துடன் நிறுத்திக்கொள்ளுவோம். இப்போது ஒரு பழைய மிஸ்டர் எக்ஸ் ஜோக் சொல்வோம்.

மிஸ்டர் எக்ஸை எப்பொழுதும் ஆபீஸில் பிஸியாக வைத்துக்கொள்ள என்ன செய்ய வேண்டும்? சுலபம். அவரிடம் ஒரு வெற்றுத் தாளில் இரண்டு பக்கத்திலும் ஓரத்தில் PTO என்று எழுதிக் கொடுத்துவிட வேண்டும்.

அடிக்க வருமுன் ஒரு விஷயம் கவனியுங்கள். ஜோக்கின் புத்திசாலித்தன சாராம்சம் மோபியஸ் பட்டையின் ஒரு குணம். அதாவது, சிம்பிளாக முடிவற்ற செயலை செய்வது.

மோபியஸ் பட்டையில் பயணம் முடிவில்லாதது. ஒரு எறும்பை பிடித்து அந்தரத்தில் தொங்கும் மோபியஸ் பட்டையின் மீது விட்டால் அதன் மிச்ச ‘வாழ்க்கை பயணம்’ உத்தேசமாக பட்டையிலேயே முடிந்துவிடலாம். முடிவற்றதை குணத்தில் கொண்டுள்ளதால் மிகப்பெரிய முடிவற்ற எண்ணிக்கை, அனந்தம், இன்ஃபினிட்டி, என்பதற்கு எட்டை படுக்கவைத்தார்போல எழுதுவோமே, அதுவும் ஒரு மோபியஸ் பட்டைதான் என்றும் கூறுவர். கணித விந்தை பொருள்களையும், விஷயங்களையும் அனாயாசமாக தன் ஓவியங்களில் இருத்தி விளையாடியவர் மாரிஸ் எஷர். இவரின் ஒரு ஓவியத்தில் எறும்புகளுக்கு மோபியஸ் பட்டையில் அனந்தமான பயணம் விதிக்கப்பட்டுள்ளது.

escher

இடவியல், கணிதவியல் கடந்து இப்பட்டையினால் என்ன பயன்? நம்ம ரேஞ்சுக்கு, நாய்க்கு கட்டமுடியுமா என்றால், முடியும். முறுகலினால் கழுத்து வலிக்கும். மலையாள பகவதி மந்திரித்து கொடுத்தது என்று மோதிர வளையத்திற்கு பதில் விரலில் சிறியதாய் போட்டு அழகு பார்க்கலாம். தவறில்லை. கணிதவியலாளர்கள் இருக்கும் வீட்டில் திருஷ்டிக்காக வாசலில் குதிரை லாடத்திற்கு பதில் கட்டித் தொங்கவிடலாம். என்ன என்று கேட்பவர்கள் ஞானமடைவார்கள். பள்ளியில், தண்டவாள துண்டிற்கு பதிலாக உலோக மோபியஸ் பட்டையில் மணியடிக்கலாம். ஏதோ மிகைக்காக இப்படி காதில் மோபியஸ் பூ சுற்றுகிறேன் என்று எண்ண வேண்டாம். இதே ரீதியில் மெக்கானிக்கல் பிரெய்ன் உடையவர்கள் சிறியதாய் மோபியஸ் கியர் செய்துபார்த்து உவகித்துள்ளனர்.

mobiusgears500

(இங்கும் பார்க்கவும், மோபியஸ் கியர் எப்படி செய்வது என்று குறிப்புரை உள்ளது)

சமீபத்தில், மோதிரம் சைசில் இருக்கும் ஒரு மோபியஸ் பட்டையை ஆளுயர பக்கெட் தண்ணீரில் போட்டு, அது எப்படி உருண்டு பிரண்டு விழுகிறது என்று படம் பிடித்து, ஏன் அப்படி என்று தர்க்கித்து ஆராய்ச்சி கட்டுரை எழுதியுள்ளனர். சாதாரண வளையம் நீரை எதிர்த்து (புவியீர்ப்பினால்) விழுகையில், சமமாக எதிர்உராய்வுவிசை அதன் புரங்களில் இயங்கும். மோபியஸ் பட்டை முறுகலுடன் இருப்பதால், விசை பல கோணங்களில் இயங்கி, பட்டையை விழுகையில் சுருட்டி, நிச்சயம் கரணம் அடிக்கச்செய்யும். படத்தில் உள்ளதுபோல.

1b

அறிவியலில் மேலும் பல துறைகளில் நேரடியாக இந்த விந்தை பொருளை உபயோகிக்க முயன்றுள்ளனர். பல படிமங்களில் உதாரணங்கள் உள்ளது. மேலும் ஒன்றிரண்டு மட்டும் சுருக்கிவரைகிறேன்.

நிகோலாய் டெஸ்லா மோபியஸ் பட்டை உருவில் ஒரு எலக்ட்ரிகல் ரெஸிஸ்டர் செய்வதற்கு அடிகோலினார். இரண்டு மின்கடத்திகளை நடுவில் இன்சுலேட்டர் வைத்து இணத்து மோபியஸ் பட்டையாய் முறுக்கிய இவ்வகை ரெஸிஸ்டரில் மின்சாரம் செல்வதினால் ஏற்படும் செல்ஃப் இன்டெக்டன்ஸ் எனப்படும் சுய எதிர் மின்காந்தவிசை மிச்சம் இருக்காது. தற்போது பேடன்ட் இருக்கிறது. எங்கு உபயோகமாகிறது என்று தெரியவில்லை. மேலும் இதைப்பற்றி படிக்க இந்த சுட்டியை தொடருங்கள்.

சூரிய புயல்காற்று பற்றி கேள்விப்பட்டிருக்கலாம். புரோட்டான், எலக்ட்ரான் முதலிய மின்துகள்களினால் (சார்ஜ்டு பார்டிகிள்ஸ்) ஆன பிளாஸ்மா பொருள். தொடர்ந்து சூரியனில் இருந்து அனைத்து திசைகளிலும் வெளிப்படும் அதிவேக புயல். உலகின்மீது இவை தாக்காமல், பூமியின் புவிகாந்தப்புலம் முடிந்தமட்டிலும் தடுத்துவிடுகிறது. தாண்டி, வீரியம் குறையாமல் உள்ளே வரும் சூரிய காற்றே அரோரா (ஆராரொ இல்லை) போரியலிஸ், அரோரா ஆஸ்ட்ரலிஸ். துருவப் பிரதேசங்களில் நிகழும் இயற்கை புவி-மின்காந்த-சூரிய-ப்ளாஸ்மா சங்கம வாணவேடிக்கைகள்.

இது எதற்கு இப்போது என்றால், இவ்வகை மின்துகள் அடங்கிய பிளாஸ்மா எவ்வாறு புவிமின்காந்தப்புலனுடன் சங்கமிக்கிறது என்று வானியலாளார்கள் இன்றும் ஆராய்ந்துகொண்டிருக்கின்றனர். வர்சுவல் ரியாலிடியை வைத்து கணினியில் மாதிரித்து (மந்திரித்து போல மாதிரித்து) மின்துகள்கள் காந்தபுலனில் ஊடுருவி பயணிப்பது எப்படி என்று அனுமானிக்கின்றனர். புலன் இட மதிப்பில் சிறு மாறுதல்கள் ஏற்பட்டாலும் துகள் பாதை மாறி போய்விடும். முன்னர் கட்டுரையில் வண்னத்துப்பூச்சி விளைவு என்று எழுதினோம் நினைவிருக்கலாம். கேயாஸ் தியரியின், அதே மேட்டர்தான். இங்கும் நடக்கிறது. மின்துகள்களின் பாதை கேயாடிக்காக, தொடர்ந்து அனுமானிக்கமுடியாத குழப்பமாக, மாறும்முன் அவை வெளியில் (ஸ்பேசில்) பயணிக்கும் வளைகோடுகள் மோபியஸ் பட்டையாம். அருகில் படத்தில் பாருங்கள்.

மேலும், மோபியஸ் பட்டையான பாதை நடுவில் கிழிந்து இளைத்த, ஆனால் பெரிய மோபியஸ் பட்டையாகி, நாம் சிம்பிளாக காகிதத்தில் கட்டுரையில் மேலே செய்த பொருளைப்போலவே பாதைகளை கடந்து குழப்பமடைகிறதாம்.

solar-wind-mobius

அது எப்படிவேனா குழம்பட்டும், நமக்கு அதைப்பற்றி படித்தாலே குழம்பிவிடுகிறது என்கிறீர்களா, பரவாயில்லை. கட்டுரையில் இதுவரை என்னுடன் ஏக் தம்மில் தொடர்ந்து வந்திருந்தீர்கள் என்றால் நன்றி.

அறிவியல் மட்டுமல்ல, விஞ்ஞான புனைவு கதைகளிலும் மோபியஸ் பட்டை கிளப்பியுள்ளது. 1949இலேயே ஆர்தர் கிளர்க் தன் வால் ஆஃப் டார்க்னஸ் என்ற சிறுகதையில் மோபியஸ் பட்டையைபோல் ஆனால் முப்பரிமாணத்தில் இருக்கும் ஒரு உலகை எழுதினார். கதையில் தங்கள் உலகின் ஓரத்தில் படிக்கட்டு செய்து மேல் உலகிற்கு செல்லமுயன்று, படியில் ஏறி ஏறி மீண்டும் தங்கள் உலகிற்கே வந்துவிட்டிருப்பதை உணர்ந்து, வெறுத்துப்போய், படிக்கட்டை வெடிவைத்து தகர்த்துவிட்டு, நம் நிலை இதுதான் என்று மனம் சாந்தி அடைகின்றனர். அதேபோல ஏ. ஜே. டாயிஷ் எழுதிய மற்றொரு கதையில் போஸ்டன் நகரில் ரயில்பாதை அமைக்கையில், பல பாதைகள் குறுக்கே சென்று குழப்பம் ஏற்பட்டு, பாதை மோபியஸ் பட்டையாகி, டிக்கெட் வாங்கிக்கொண்டு உட்கார்ந்த ரயில் பக்கத்து ஸ்டேஷன் போகாமல் காணாமல்போய்…

அடுத்ததாக இசையில் மேலைநாட்டு சங்கீதத்தின் இரண்டு ஸ்வர கார்டுகளின் (2 note chords, இவற்றிற்கு டயாட், dyad, என்று பெயர்) வெளி ஒரு மோபியஸ் பட்டை (நம் இளையராஜா நிறைய டயாடுகள் உபயோகித்துள்ளார் – உதாரணம், பூந்தளிர் ஆட பாட்டின் கிட்டார் தொடக்கம்); எப்படி யோஹன் ஸெபாஸ்டியன் பா(ஹ்)க்கின் (J. S. Bach) மியூசிக்கல் ஆஃபரிங் எனப்படும் இசை கம்பொசிஷனில் ஒரு கெனானின் (canon – ஒரு இசைவடிவம்) ஸ்வரக்கோர்வைகள், தொடக்கம்-முடிவாய், முடிவே புரட்டி தொடக்கமாய், மோபியஸ் பட்டையில் எழுதக்கூடியவையாக இருக்கிறது…. இப்படி பட்டையை பற்றி எழுதிக்கொண்டே போகலாம். முத்தாய்ப்பாய் ஒரு விஷயம் கூறி முடிக்கிறேன்.

மோபியஸ் பட்டை மூன்றாவது பரிமாணத்தின் வழியாய் அரை முறுகல் செய்து, இரு பரிமாணத்தில் இருக்கும் வஸ்து. ஒரு படிமம் ஏற்றி, முப்பரிமாணத்தில் குழாய்போல் இருக்கும் கணப்பொருள் ஒன்றை முறுக்கி உள்ளே வெளியே வித்தியாசமில்லாதபடி அதன் ஓரப் பரப்புகளை சேர்த்தால் கிடைக்கும் பொருளின் முப்பரிமாண புரொஜெக்‌ஷன் (டோப்பாலஜியில், இம்மெர்ஷன் என்பார்கள்; லூசில் விடுவோம்) என்ன தெரியுமா. பெயர் க்ளைன் பாட்டில் (Klein Bottle).

அதாவது, அருகருகே இரண்டு மோபியஸ் பட்டைகளை வைத்து ஓரங்களை ஒட்டினால் (முடியாது) கிடைக்கும் வஸ்து, க்ளைன் பாட்டில் (Klein Bottle).

இதை வீட்டில், காகிதத்தில் செய்வது கடினம். இந்த முப்பரிமாண புரொஜெக்‌ஷன் எப்படி இருக்கும் என்று பார்க்க மென்பொருளைக்கொண்டு கணினியில் வரைந்த அபாரமான அனிமேஷன் இருக்கிறது.

YouTube சுட்டி

நிஜத்தில் இந்த பாட்டிலை ஆலையின் கிளாஸ் பிளோயிங் செக்‌ஷனில் கொடுத்து செய்யமுடியுமா? முடியும். இப்படி இருக்கும்.

klein-bottle

அக்மி க்ளைன் என்கிற கம்பெனி இதைசெய்கிறது. ஆர்டர் செய்தால் அன்றே டெலிவரியாம். உலகின் மிகப்பெரிய க்ளைன் பாட்டிலையும் (1.1 மீட்டர் உயரம்) அவர்களே செய்துள்ளனர். இதன் தொழில்நுட்பத்தை இந்த பக்கத்தில் படித்துப்பார்த்து வியந்துகொள்ளுங்கள்.

எல்லாம் சரி, இவ்வகை க்ளைன் பாட்டிலில் ஊற்றி நீர் பருக முடியுமா? யோசித்துவையுங்கள்.