இலையில் இருபரிமாண டோப்பலாஜிகல் மானிஃபோல்டுகள்

பள்ளியில் பதினொன்றாம் வகுப்பில் முதல் நாள். அடியேன் சகாக்களுடன் முதல் பெஞ்சில் மிதப்பாக அளவளாவியபடி இருக்க, வந்தார் கணக்கு வாத்தியார். சில உபயகுசலோபுரிகளுக்கு பிறகு நான் நூத்துக்குநூறு புத்தக-பிரதி-வாந்தி-கேஸ் என்று தெரிந்து, வட்டம் என்றால் எது என்று விவரிக்க முடியுமா என்றார். நானும் ரோஷமாக ஆங்கிலத்தில் யோசித்துவிட்டு, ஒரு பரப்பில் வாழும், ஆரம்பமும் முடிவும் இல்லாத ஒரு வளைகோடு என்றேன்.

தன்னைத்தானே வெட்டிக்கொள்ளாமல் ஆனால் கச்சமுச்சா என்று ஒரு கிறுக்கலை போர்ட்டில் வரைந்து, மறக்காமல் தொடங்கிய புள்ளியையும் முடிக்கும் புள்ளியையும் சேர்த்துவிட்டு (படத்தில் (அ)), புன்சிரிப்புடன் நீ சொன்ன விளக்கம் படி இது வட்டம்தானே என்றார் வாத்தியார்.

விக்கித்து, விகசித்து கோஆப்டெக்ஸ் தள்ளுபடியில் வாங்கி நனைத்த முண்டா பனியன் போல இரண்டடி சுருங்கி நின்றேன். ச, மவனே, வட்டம்னா என்னன்னுகூட சொதப்பாம சொல்ல வரல நமக்கு; படித்து என்ன பன்னபோறோம். என் கண்ணில் நீர் முட்டியது.

என்னுடைய சுருக்கத்தை பார்த்து உடனே அவரே நீ சொன்னது கரெக்ட்தான், ஆனால் அந்த மாதிரி ஒரு ஆரம்ப முடிவில்லா வரைகோட்டின் ஒவ்வொரு புள்ளியும் உள்ளே இருக்கும் ஒரு லோகசில் (புள்ளி) இருந்து சம தொலைவில் இருக்க வேண்டும் என்ற கண்டிஷனையும் சேர்த்துச் சொன்னால் அது வட்டம் என்று விளக்கி தட்டிக்கொடுத்தார்.

இன்று உபாத்தியார் அந்த கிறுக்கலால் என்னை மடக்கியிருக்க முடியாது. அடித்து (வாயால்தான்) கூறியிருப்பேன். ஆமாம் நீர் கிறுக்கலாக வரைந்ததும் வட்டம் தான் என்று. டோப்பாலஜி படி.


topology1

அது என்ன டோப்பாலஜி, வழுக்கை விழுந்தவர்கள் உபயோகிப்பதை படிப்பதா என்கிறீர்களா. இல்லை. கணிதவியலில் ஒரு இக்கால பிரிவு. ஒருவேளை இதை படித்தால் டோப்பா தேவைப்படுமோ என்னவோ.

டோப்பாலஜி என்பது தொடர்ச்சியாக உருமாறும் பொருட்களின் எத்தன்மைகள் அல்லது குணங்கள் மாறுபடாமல் இருக்கிறது என்பது பற்றி படிப்பது. சாதாரண வடிவியலில் (ஜியாமெட்ரி) அளவுகள், கோணங்கள் பிரதானம். டோப்பாலஜி ஒரு ரப்பர் ஷீட் வடிவியல். இதில் எவ்வளவு தூரம், எவ்வளவு கோணம், எவ்வளவு பெரிசு என்றெல்லாம் கேட்கமுடியாது. பதில் கிடைக்காது. மாறாக எங்கு உள்ளது, எதற்கிடையே உள்ளது, எது உட்புறம் எது வெளிப்புறம் என்ற கேள்விகளுக்கு பதில் உண்டு.

உதாரணமாக, இங்கிருந்து சிவசாமி வீட்டிற்கு எம்புட்டு தூரம்ங்க என்று கேட்டு பதில் இரண்டு மைல் என்று வாங்கிக்கொண்டால் அது நாம் பள்ளியில் படிக்கும் மெட்ரிக் வடிவியல். கேள்வியை மாற்றிப்போட்டு சிவசாமி வூட்டாண்ட எப்படிப்போவனுங்க என்று கேட்டு இப்படியே ரோடுபோவுதுபார் அதுல போயி இரண்டா பிரியர இடத்துல சோத்தாங்கைபக்கமா திரும்பி நடக்கசொல்ல பீச்சாங்கைபக்கத்துல வரும் என்று பதிலாக பெற்றால் அது டோப்பாலஜி. பதிலில் எங்கும் சிவசாமி வீட்டிற்கு எவ்வளவு தூரம் என்று சொல்லவில்லை. தொலைவு இரண்டு அல்லது நான்கு மைலாக இருக்கலாம். ரோடு நேராகவோ வளைந்தோ இருக்கலாம். ஆனால் இங்கிருந்து சிவசாமி வீட்டிற்கு ரோடு பிரியும் இடம் வராமல் போகமுடியாது என்று மட்டும் தெரிகிறது. புள்ளிகளின் ரிலேடிவ் இடங்கள் மட்டும் மாறவில்லை. ஆனால் நீளலாம் குறையலாம். இது டோப்பாலஜி. ரப்பர் ஷீட் வரிவியல்.

மீண்டும் முதல் படத்திற்கும் என் வாத்தியாரின் கிறுக்கலுக்கும் வாருங்கள். ஒரு சம தளத்தில் வாழும் எந்த தொடக்கம்-முடிவு இல்லா வளைகோட்டையும் வட்டமாக பாவிக்கமுடியும் என்கிறது டோப்பாலஜி. வட்டம் என்பது இவ்வகை வளைகோடுகளின் ஸ்பெஷல் வகை. அவ்வளவுதான்.

இன்னொரு நரம்படி உதாரணம் கொடுக்கவேண்டும் என்றால், அருகில் உள்ள படத்தை பாருங்கள்.

topo-ex

எட்வர்ட் காஸ்னர் கூறிய உதாரணத்தை சார்ந்து, அதில் உள்ள படம் கையை எடுக்காமல் ஒரே வளைகோட்டைகொண்டு (கணினியில், அடியேனால்) வரையப்பட்டது. அந்த வளைகோடும் தன்னைத்தானே ஒரு முறையும் வெட்டிக்கொள்ளவில்லை, இல்லையா? அதுவும் டோப்பாலஜிபடி வட்டத்துடன் சமநிலைதான். என்ன கொஞ்சம் அதிகமாக தட்டி கொட்டி சரிசெய்யவேண்டும், வட்டமாக்குவதற்கு. ஆனால், எப்புள்ளியையும் நீக்கத் தேவையில்லை. படத்தை கிழிக்க வேண்டாம்.

இப்படி தன்னையே குறுக்கே வெட்டிக்கொள்ளாமல், முதல் முதல் முதல் வரை வரையப்பட்டுள்ள அனைத்து வளைகோடுகளும் டோப்பாலஜியில், சிம்ப்ளி கனெக்டெட் என்று விளிப்பார்கள். எளிமையான சேர்க்கை பண்புடையவை. அனைத்தும் வட்டத்திற்கு சமநிலை. படத்தில் சிவப்பிந்தியர் தோன்றும் வளைகோடு வட்டமானாலும், புள்ளி B புள்ளி A மற்றும் புள்ளி Cயின் இடையேதான் இருக்கும். தூரம் வேண்டுமானால் மாறலாம், ஆனால் நிச்சயமாக இடையேதான் எங்கோ இருக்கும். இதுதான் சிம்ப்ளி கனெக்டெட், எளிமையான சேர்க்கையுடைய டோப்பாலஜிகல் வெளியின் (ஸ்பேசின்) முதல் பண்பு. வளைகோடுகளின் இந்த குணத்திற்கு ஹோமியோமார்ஃபிஸம் என்று பெயர். இரண்டு பொருள்களுக்கு இக்குணம், பண்பு, வேறுபடுகிறது என்றால் அவை டோப்பாலஜியில் சமநிலையற்றவை.

வளைகோடுகளின் எளிமையான சேர்க்கை என்ற டோப்பாலஜி பண்பின் உபயோகமே, அது வாழும் தளத்தை (பிளேனை) ஓர் உட்புறமாகவும் ஓர் வெளிப்புறமாகவும் பிரித்துவிடுகிறது எனலாம். இதன் உபரி உபயோகம்: வீட்டில் அடுத்தமுறை அம்மணிக்காக சப்பாத்தி இடுகையில், அமீபா ஷேப்பில் எப்படி வந்தாலும் டோப்பாலஜிபடி அது வட்டம்தான் என்று  சொல்லிப்பார்க்கலாம் (குழவியை மறைத்தபடி).

சரி, ஆரம்ப-முடிவற்ற வளைகோடு தன்னையே ஒரு முறை மட்டும் வெட்டிக்கொண்டால் என்னவாகும்? கிட்டத்தட்ட எட்டு போல தோன்றும். வட்டம்போல் இல்லாமல், எட்டிற்கு இரண்டு உட்புறமும் ஒரு வெளிபுறமும் சொல்லமுடியும். இந்த மாதிரி ’எட்டு’ வளைகோட்டை, அதன் ஒரு புள்ளியிலாவது வெட்டி, புரட்டி போட்டு மறுபடியும் ஒட்டாமல், அதை வட்டமாக ஆக்க முடியாது. அதனால் டோப்பாலஜிபடி எட்டு போலுள்ள வரைகோடுகள் சிம்ப்ளி கனெக்டெட் கிடையாது. வட்டத்துடன் சமநிலையற்றவை.

இதன் அடுத்த படிமம் இரு பரிமாணத்தில் யோசிப்பது. வட்டத்திற்கு உள்ளே மொத்தமாக உட்புறம் என்று சொல்லமுடியாமல், சப்பாத்தி போல் உள்ள ஒரு வட்டவில்லையின் (டிஸ்க்) நடுவில் சற்று கிழிந்திருந்தால் என்னவாகும்? படத்தில் (அ)வில் உள்ளபடி.

topology2

இந்த வட்டவில்லை பரப்பில் ஒரு உட்புறமும், உள் ஓட்டையையும் சேர்த்து, இருபுறங்களிலும் ’வெளிப்புறமும்’ இருக்கிறது.

இப்போது வில்லையின் குறுக்காக ஒரு முறை கிழித்தால் இரண்டு வெளிப்புறங்களும் கிழிந்த இடம் வழியாக சேர்ந்து ஒரே வெளிப்புறமாகிவிடும். கிழிந்த வில்லை, கிழியாத பட்டையாகிவிடும். படத்தில் (ஆ)வில் இருந்து (இ)யாக. அதாவது, டோப்பாலஜிபடி, ஓரு ஓட்டையுடன் அமைந்த வட்டவில்லைகளை, ஒரு வெட்டு போடாமல் (ஒரு முறையேனும் கிழிக்காமல்) பட்டையாக, சிம்ப்ளி கனெக்டெடாக, வட்டத்தின் சமநிலையாக செய்யமுடியாது.

மைலை கற்பகாம்பாளில் மெதுவடை சாப்பிட்டிருக்கிறீர்களா? அங்கு இல்லையெனினும், அட்லீஸ்ட் நிச்சயம் மெதுவடை சாப்பிட்டிருப்பீர்கள். நடுவில் ஒரு துளையுடன் இருக்கும் அந்த மெதுவடை மேலே கூறிய வில்லையின் முப்பரிமாண சமபொருள். இருபரிமாண டோப்பலாஜிகல் மனிஃபோல்டு என்பார்கள்.

topology5

உளுந்து சரியாக ஊறாது, மெதுவடை பிடிக்கவில்லை என்றால் டோப்பாலஜியின் ஹோமியோமார்ஃபிசம் உபயத்தில் அதையே காப்பி கோப்பையாக மாற்றி ஒரு டபிள் ஸ்ட்ராங் காப்பி குடிக்கலாம். எப்படி என்றால், இப்படி:

Mug_and_Torus_morph

[படம் ஆதாரம்: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Mug_and_Torus_morph.gif ]

டோப்பாலஜிபடி ஒரு துளையுள்ள எந்த கணப்பொருளும் ஹோமியோமார்ஃபிசம் செய்யவல்ல சமநிலையுள்ளவை. வளையல், ஒட்டியாணம், மோதிரம், சிறுவயதில் உருட்டிக்கொண்டு ஓடிய டயர், விளையாடிய ரிங் பால், டோரஸ் (torus), மெதுவடை அனைத்தும் இருபரிமாண டோப்பலாஜிகல் மனிஃபோல்டுகள்தாம்.

டோப்பாலஜியையும் அதன் பண்புகளையும் உபயோகித்து உருண்டை உலகிற்கு எப்படி சுருக்கி ஆனால் துல்லியமாக இருபரிமாண தாளில் சார்ட் வரைவது என்பதில் இருந்து சார்பியல் தத்துவத்தை உபயோகிக்கும் நாற்பரிமாண ஸ்பேஸ்-டைம் மானிஃபோல்ட் வரை அலசமுடியும். நாம் இந்த அறிமுகத்துடன் நிறுத்திக்கொள்ளுவோம். டோப்பாலஜி என்ற சப்ஜெக்ட் எப்படி தோன்றியது என்பதை மட்டும் அடுத்த கட்டுரையில் விளக்குவோம்.

மேலும் அறிமுகத்திற்கு (மட்டும்) இந்த விக்கிப்பீடியா பக்கங்களை படித்துப்பாருங்கள் (manifold, topology, topological spaces). பிறகு, வலையை விட்டு, புத்தகத்தையும் உங்கள் கற்பிதலையும் நாடுங்கள்.

[தொடர்பான உருளைகிழங்கு வறுவல் வடிவியல் பதிவையும் படித்துப்பாருங்கள்]