ஆறுகட்ட பிரிவும் எர்டாஸ் எண்ணும்

மொட்டைத்தலைக்கும் முழங்காலுக்கும் முடிச்சு போட முடியுமோ என்னவோ. ஆனால் ஆறு கட்ட பிரிவு (சிக்ஸ் டிகிரீஸ் ஆஃப் செபரேஷன்) என்ற கருத்தின் படி நம்மூர் அமாவாசைக்கும் அசலூர் அப்துல்காதருக்கும் நிச்சயம் முடிச்சுபோட முடியும். ஆறு கட்ட பிரிவு  கருத்துப்படி பொதுவில் உலகில் உங்களுக்கு தெரிந்தவருக்கு, தெரிந்தவருக்கு, தெரிந்தவருக்கு, தெரிந்தவருக்கு தெரிந்தவருக்கு என்னை தெரிந்திருக்கும்.

முன்பின் சந்தித்திராத உங்களையும் என்னையும் – நாம் உலகில் எந்த இருவராக இருப்பினும் – இணைப்பதற்கு ஆறு பிணைப்புகள் கொண்ட சங்கிலி தொடர் போதும் என்கிறது இக்கருத்து. மனிதர்களை சிறு கோலிகளாக பாவித்து இக்கருத்தை விளக்கும் படத்தை அருகில் பார்க்கவும்.

இஸ்டீவன் மில்கிராம் என்பவர் 1960களில் இந்த கருத்தை உலகம் சுருங்கிகொண்டு வருகிறது என்ற சிந்தையை அடிகோல உபயோகித்தார். நிருபிப்பதற்கு சில பரிசோதனைகளையும் செய்தார். மால்கம் கிளாடுவெல் என்பவர் சமீபத்தில் எழுதி பிரபலமான ’த டிப்பிங் பாயிண்ட்’ என்ற புத்தகத்தில் இந்த சோதனையை விவரிக்கிறார். என்ன என்று பார்ப்போம்.


அமெரிக்காவில் ஒமாஹா, விச்சிட்டா, நெப்ராஸ்க்கா, கன்ஸாஸ் என்று ஒன்றுக்கொன்று விலகி இருக்கும் நான்கு மாநிலங்களை தேர்ந்தெடுத்தார். அங்கு தோன்றியபடி சிலரை தேர்ந்தெடுத்து ஒரு பார்சலும் கூடவே பரிசோதனையை விவரித்து ஒரு கடிதமும் அனுப்பினார். அவர்கள் செய்யவேண்டியது அந்த பார்சலை பாஸ்டன் நகரில் முன்பே தேர்ந்தெடுத்த ஒரு நபருக்கு அனுப்பவேண்டும். ஒரு நிபந்தனை. பார்சலை அவர்களுக்கு பரிச்சயமானவர்களுக்கு மட்டுமே அனுப்பவேண்டும். நண்பர்கள், உறவினர்கள், ரயில், ஆபீஸ், அன்பர்கள், முன்னே பின்னே தெரிந்திராமல் அட்லீஸ்ட் முன் மட்டும் தெரிந்தவர்கள், இப்படி யாரோ ஒருவருக்கு.

அந்த ”யாரோ ஒருவன்” ஒருவேளை மில்கிராம் முன்பே தேர்ந்தெடுத்திருக்கும் பாஸ்டன் பாலாவாகவும் இருக்கலாம். அப்படியெனில் பார்சலை அனுப்பிவிட்டு மில்கிராமிற்கு தங்கள் பெயரையும் (பார்சலை அவருக்கு அனுப்பிவிட்டதினால்) பாஸ்டன் நபர் பெயரையும் எழுதி அனுப்பிவிடவேண்டும். பார்சல் சங்கிலி ஒரு கட்ட பிரிவில் முடிவடைந்துவிட்டது என்று அர்த்தம்.

இல்லையெனில், வேறு ஒரு பரிச்சயமானவர் வழியாக, அவர்களின் பரிச்சயமானவர் வழியாக… இப்படி பாண்டியாட்டம் ஆடி, நடுவில் சப்பையெல்லாம் வைக்காமல் (பார்சல் தொலையாமல்) பல கட்டம் தாண்டி பார்சல் பாஸ்டனை அடையவேண்டும். எத்தனை பிரிவு என்று தொடர்பை ஆரம்பித்த ஒவ்வொருவரும் மில்கிராமிற்கு கடிதவழி செய்தி அனுப்பிவிடவேண்டும். இதுதான் பரிசோதனை. ஆங்கில விக்கிபீடியா பக்கத்திலும் சோதனையின் சுருக்கம் உள்ளது.

சோதனை முடிவு? ஆமாம், நீங்கள் யூகிப்பது சரிதான். அனைத்து பார்சல் பயண சங்கிலிகளையும் கொண்டு யாரோ இரண்டு நபர்களுக்கிடையே கிட்டத்தட்ட ஆறு கட்ட பிரிவு தான் என்று மில்கிராம் அனுமானித்தார். ஆனால் ஆறு கட்ட பிரிவு என்று அவர் இதற்கு பெயரிடவில்லை. அந்த சொல்லாக்கம் ஜான் குவாரி (John Guarre) என்பவர் எழுதிய ஒரு நாடகத்தின் தலைப்பு. இந்நாடகம் 1993இல் வில் ஸ்மித் நடித்து திரைப்படமாகவும் வந்து பெயர்பெற்றது.  மிக்கிராமின் சோதனை மிகப்பிரபலமடைந்தது. இன்றும் இந்த ”சிறு உலக சம்பவம்” சோஷியல் நெட்வொர்க்ஸ் தியரியில் முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது.

மில்கிராமின் இந்த சோதனைகளின் குறைகளை கொண்டு ஆறு கட்ட பிரிவு என்பது நிச்சயம் இல்லை; வேறு நம்பர் இருக்கலாம் என்று தர்கிப்பவர்கள் இருக்கிறார்கள். இருந்தாலும், ஜாதி, மத, குல, இன, பேதமின்றி உலக மனிதர்கள் அனைவரும் ஆறு கட்ட பிரிவில் தெரிந்தவர்களே. நெருங்கியவர்களே.

எனக்கென்னவோ நாலு ஓரத்திலும் மஞ்சள் குங்குமம் தடவி, வெடிஉப்புபீரங்கிசாமி துணை என்று மேலே எழுதி, அன்புடையீர், நாடு நலம் பெற, வீட்டில் சுபிட்சம் பொங்க என்று தொடங்கி, முடிவில் நினைத்த காரியம் கைகூட உடனே இதைப்போல 22 கார்டு உங்களுக்கு தெரிந்தவர்களுக்கெல்லாம் மறக்காமல் அனுப்பிடுவீர். இல்லையேல் நினைத்ததற்கு நேர் எதிராக, வயிற்றிலே வழுக்கை விழுந்து… என்று முடியும் சங்கிலி கடிதங்களின் ஊற்று இந்த மில்கிராம் பரிசோதனைதானோ என்று சந்தேகம்.

மேலும், கொல்லிமலை பூர்வீகம், பச்சை மாமிசம் சாப்பிட்டு, புகையிலையை சுருட்டி பத்தவைக்க சிக்கிமுக்கி கல்தான் என்று இருக்கும் பழங்குடியினர்களுக்கும், தகவல் ஜீபிஆரெஸ் ஏதுவாகிய செல்போன் வழி எஸ்ஸெம்மெஸ்ஸி, அவர்களுக்கு நேர் எதிர்முனையில் இருப்பதாகத் தோன்றும் நமக்கும் இடையே இந்த ஆறு கட்ட பிரிவு செல்லுபடியாகும் என்று தோன்றவில்லை. இந்த பிரிவு ஒரு தொடர்பற்ற பிளவு.

ஆறு கட்ட பிரிவு சிந்தையை போல ஆராய்ச்சி துறையில் எர்டாஸ் எண் என்று ஒரு விஷயம் உள்ளது. ஆறு கட்ட பிரிவைக்காட்டிலும் சற்று கடினமான நிபந்தனைகள் கொண்டது. எர்டாஸ் எண்ணை வைத்து ஆராய்ச்சி துறையில் எல்லோரையும் எர்டாஸின் சக குடும்பத்தாராக பார்க்க முடியும்.

பால் எர்டாஸ் கணிதவியலாளர். சென்ற நூற்றாண்டில், உலகில் இருந்த பல வல்லுநர்களுடன் சேர்ந்து ஆயிரக்’கணக்கில்’ ஆராய்ச்சி கட்டுரைகள் எழுதி குவித்துள்ளார். இவருடன் சேர்ந்து நீங்கள் ஆராய்ச்சி கட்டுரை எழுதியுள்ளீர்கள் என்று வைத்துக்கொண்டால், உங்கள் எர்டாஸ் எண் ஒன்று (1). எர்டாஸுடன் எழுதாமல் அவருடன் சேர்ந்து எழுதிய பலரில் ஒருவருடன் எழுதியுள்ளீர்கள் என்றால் உங்கள் எர்டாஸ் எண் இரண்டு (2). எர்டாஸிற்கு எர்டாஸ் எண் பூஜ்ஜியம் (0). எர்டாஸுடன் இவ்வகை ஆராய்ச்சி கட்டுரை சங்கிலி தொடர்பு இல்லாமல் இருப்பவருக்கு எர்டாஸ் எண் அனந்தம் (infinity).

எர்டாஸ் எண் புள்ளிவிவரங்கள் வலையில் ஜெர்ரி கிராஸ்மன் என்பவரால் பராமரிக்கப்படுகிறது. இதை அலசினால் இப்படி எண் அருதியிடுவதில் சில சுவாரசியங்கள் இருப்பது புலப்படும்.

உதாரணத்திற்கு, ஆராய்ச்சித்துறையில் ஒருவருக்கும் எர்டாஸ் எண் ரொம்பப்பெரியதாக இருப்பதில்லை. எர்டாஸிடமிருந்து மிகவும் தூரமாக, பதிமூன்றில் (13) மொத்தம் ஐந்து ஆராய்ச்சியாளார்களே இதுவரை கணக்கிடப்பட்டுள்ளனர். கணிதவியலில் ஆராய்ச்சி செய்பவர்களுக்கு எட்டை (8) தாண்டி எட்டவேண்டியதில்லை.

எர்டாஸ் எண் பட்டியல் புள்ளிவிவரப்படி, சராசரி  எர்டாஸ் எண் ஐந்திற்கு மிக அருகில் (4.65) இருக்கும். உதாரணத்திற்கு, என்னுடைய எர்டாஸ் எண் ஐந்து (5). எப்படி என்று விபரம் கட்டுரையின் முடிவில் கொடுத்துள்ளேன். இது ஒன்றும் பெரிய விஷயமில்லை. மார்ச் 2007 வரை 87760 பேர் எர்டாஸ் எண் ஐந்துடன் இருக்கிறார்கள்.

இதை குறைப்பது கடினம். ஏனெனில் (நான்காக) குறைக்கவேண்டுமென்றால், ஆராய்ச்சி கட்டுரை சங்கிலியில் 3 எண் இருப்பவருடன் சேர்ந்து நான் ஆராய்ச்சி செய்து கட்டுரை வெளியிட வேண்டும். இது மிகவும் கஷ்டம். கால கிரமப்படி நம்மை விட குறைவான எர்டாஸ் எண்ணிக்கை கொண்டவர் நம்முடன் வயது முதிர்ந்தவராகவும் (நிச்சயம் ஒரு தலைமுறை தள்ளி இருப்பார்), அதன் தொடர்ச்சியாக அவ்வயதை ஒத்த ஆராய்ச்சி அனுபவத்துடனும் சுலபமாக எட்டிப்பிடிக்க முடியாத உயரத்திலும் இருப்பார். அவருடன் ஆராய்ச்சி செய்வது சற்று கடினம். புரியும் என்று நினைக்கிறேன்.

எர்டாஸ் பரமபதத்தில் எர்டாஸை நோக்கி பயணிப்பது படிப்படியாக கஷ்டமாகிக்கொண்டே போகும். ஒரே ஆறுதல், பரமபதம் போல் இருக்கும் இடம் இறங்காது. ஆனாலும் இதனால் தற்காலத்தில் கணிதவியலில் ஒரு அபாயம் விளைந்துள்ளது. நண்பர்கள் சிலர் வேடிக்கைக்காக நிறுவிய இந்த அளவையை, இந்நாளில் ஆராய்ச்சி துறையில் புகழை அங்கீகரிக்கும் ஒரு நிறுவையாக கொள்கின்றனர். இவ்வெண்ணிக்கையை வைத்து, குத்துமதிப்பாக கணிதவியலாரின் துறையில் அவருடைய ‘கணத்தை’ மறைமுகமாக வெளிப்படுத்துவதாகக் கொள்கின்றனர் – குறைவான எண்ணிக்கை நிறைவான மதிப்பு என்று.

முடிக்கும் முன் வேடிக்கைக்காக, ஆங்கில கேலிச்சித்திரம் xkcd comics குறிப்பிடும் எர்டாஸ் எண் தத்துவத்தை பாருங்கள் (சுட்டெலியை சித்திரத்தின் மேல் இருத்திப்பார்கவும்; விஷயம் புலப்படும்).

கட்டுரை சுட்டிகள்

என்னுடைய எர்டாஸ் எண் 5 (என் சுய-தம்பட்டம் என்று முகம் சுளிக்காமல், சுட்டெலியை வைத்து ‘செலக்ட்’ செய்து பார்த்துக்கொள்ளுங்கள்):

  1. Erdös, P.; Babu, G. Jogesh; Ramachandra, K., “An asymptotic formula in additive number theory”, Acta Arith, 28 (1975/76), no. 4, 405-412.
  2. Ramachandra, K.; Sankaranarayanan, A.; Srinivas, K., Addendum to K. Ramachandra’s paper: “Some problems of analytic number theory”, Acta Arith. 73 (1995), no. 4, 367-371.
  3. Srinivas, K.; Gururaja, J.; Prasad, K. Krishna, “An assessment of the quality of selected finite difference schemes for time dependent compressible flows”, J. Computational Phys. 20 (1976), no. 2, 140-159.
  4. Venkateshan, S. P.; Krishna Prasad, K., “Radiative interactions in boundary layers”, J. Fluid Mech. 90 (1979), no. 1, 33-66.
  5. Wilson, L., Narasimhan, A. and Venkateshan, S. P., (2004), “Turbulent Flow Hydrodynamic Experiments in Near-Compact Heat Exchanger Models with Aligned Tubes,” ASME J. Fluids Engineering , 126, 990-996.