உருளைகிழங்கு வறுவல் வடிவியல்

ஞாபகம் வருதே ஞாபகம் வருதே என்று தாடியுடன் மனச்சைக்கிள் ஏறி (ஏன் எப்போதும் ராஜா காலத்து மனக்குதிரை, அதனால் தான் சைக்கிள். இதுவும் இக்கால சேரனின் வாகனம் தானே…) நம் பள்ளிப்பருவத்திற்கு சென்றால், அங்கு வட்டம் என்று சிம்பிளான விஷயம் வடிவியலில் (geometry) படித்தது நினைவில் வரும். அதை தூசி தட்டும் இக்கால ஆராய்ச்சி விஷயம்தான் உருளைக்கிழங்கு வறுவல் வடிவியல். ஈக்குவேஷன்லாம் கிடையாது. வாங்க பார்ப்போம் இன்னாங்கறாங்கன்னு.

நமக்கு ஒரு வட்டத்தின் ஆரத்துடன், r, இரண்டு பை (pi ) ஐ பெருக்கினால் அதன் சுற்றளவு (பரிதி) கிடைக்கும் என்று தெரியும் (2pi r ). ஆரத்தை இரண்டு மடங்காக்கினால் சுற்றளவும் இரண்டு மடங்காகும். இதுவும் தெரியும்.

சரி. ஒரு வட்டத்தை (நினைவில்) எடுத்துக்கொள்ளுங்கள். ஆனால் இப்போது அதன் ஆரத்தையும் அதன் சுற்றளவையும் வெவ்வேறு அளவாக வளரவிட்டால் எப்படி இருக்கும்? அதாவது, சுற்றளவை கண்டுபிடிக்க ஆரத்தை எப்போதும் போல இரண்டு ‘பை’யால் பெருக்காமல் இரண்டே முக்கால் ‘பை’யாலோ அல்லது ஒன்றறை ‘பை’யாலோ பெருக்கினால் என்ன ஆகும்?

கணக்கு தப்பாகி உபாத்தியாரின் மோதிர விரல் நம் தலையில் நங் என்று இறங்கும் என்று நீங்கள் சொல்வது கேட்கிறது. இருந்தாலும், குட்டு வலியை பொறுத்துக்கொண்டு சற்று யோசித்து பாருங்கள்.

ruff_250வேண்டுமானால் வட்டத்தை ரொம்ப ரிஜிடான விஷயமாக மனதில் கொள்ளாமல், நாம் அடுக்களையில் ரகசியமாக இட்டுதரும், வட்டமான, அடுப்பில் இன்னமும் சுடப்படாத, சப்பாத்தி போல நினைத்துக்கொள்ளுங்கள். இப்படிப்பட்ட ஒரு ‘கொழகொழ’ வட்டம் தன் ஆரத்தை இரண்டு மடங்காக அதிகரித்துக்கொண்டிருக்கையில், இதன் சுற்றளவு மட்டும் கிடுகிடுவென நான்கு மடங்கு வளர்ந்துவிட்டது என்றால் எப்படி இருக்கும்?

முதலில் இரு பரிமாணத்தில் தட்டையாக, வட்டமாக இருந்த சப்பாத்தி இப்போது சுற்றளவு மட்டும் வேகமாக வளர்வதால், பிதுங்கி, வழிந்து, மடிந்து, முப்பரிமாணமாகி, சட்டென்று பார்க்க ஒரு உருளைகிழங்கு வறுவல் போல ஆகிவிடும். உருளைகிழங்கு வறுவல் உடம்பிற்கு ஆகாதென்றால், குதிரை மீது அமர்வதற்கு வைக்கும் சேணத்தை (ஸாடில்) போல யோசித்துக்கொள்ளுங்கள்.

வளர்ச்சியை மனக்கண்ணில் யோசிக்கமுடியாவிட்டால், பாதகமில்லை. மேலே இருக்கும் படத்தை பாருங்கள், புரியும்.

மேலும் விளக்க கீழே இருக்கும் அரை நிமிட வீடியோவை பாருங்கள்.

[Video courtesy of Martin Michael Müller, École Normale Supérieure.]

சரி, சுற்றளவு ஆரத்தைவிட வேகமாக வளர்கையில் வட்டம் பிதுங்கும். இப்படியே செய்துகொண்டு போனால் ஒரு மடிப்பு தாண்டி பல மடிப்புகள் விழும் சாத்தியங்கள் இருக்கிறதல்லவா. இப்படி நேர்கையில், வட்டம் மடிந்து வழிந்து உருமாறி சுருள் சுருளாகி, மகாராணி எலிசபத் காலத்து ஃபாஷனான சுருள் காலர் [3] போன்று ஆகிவிடும்.

அதாவது, சுற்றளவு ஆரத்தை விட வேகமாக வளர்கையில், உருளைக்கிழங்கு வறுவலிலிருந்து ராணி எலிசபதின் சட்டை காலர் வரை வட்டம் உருமாறி தோன்றும் சாத்தியங்கள் இருக்கிறது.

eliz_250சரி, இப்படிப்பட்ட வளர்ச்சிக்கு பதிலாக ஆரம்பத்தில் வட்டமாக தொடங்கி ஆரம் வேகமாகவும், சுற்றளவு மெதுவாகவும் வளர்ந்தால் வட்டம் என்னவாகும்? அதாவது, சுற்றளவு ஆரத்துடன் இரண்டு ‘பை’யை பெருக்கினால் வரும் மதிப்பில்லாமல், சற்று குறைவாக வருமாயின் ($$ < 2pi r $$) என்னவாகும்?

வட்டம் கிழிந்துவிடும்.

யோசித்துப்பாருங்கள்.

மேலும், இப்படி ‘கிழிந்த’ வட்டத்தின் இரு ஓரங்களையும் சேர்த்தால் கிடைப்பது கூம்பு வடிவம்.

இப்படியெல்லாம் வடிவியலை வெட்டியும், வழியவிட்டும், யோசிப்பதால் என்ன பயன்?

சும்மா ஒரு ஜாலிக்குதான்.

என்றாலும், சில பயன்கள் தட்டுப்படுகிறதாக சில கணிதவியலார்கள் கூறுகின்றனர்.

பாரீஸிலுள்ள École Normale Supérieure (ENS) என்ற நிறுவனத்தில் உள்ள கணிதவியல் ஆராய்சியாளர்களான Julien Dervaux மற்றும் Martine Ben Amar இருவரும்தான் சமீபத்தில் [1] எழுதிய ஆராய்ச்சிக்கட்டுரையில் இப்படி கூறுகின்றனர். மேலும், École Normale Supérieure நிறுவனத்தின் மற்றொரு கணிதவியல் ஆராய்சியாளர் Martin Michael Müller, National Autonomous University of Mexico (UNAM) வின் Jemal Guven னுடன் சேர்ந்து ஆராய்ச்சியில் கூம்பு வடிவமாக மாறும் வட்டத்தின் தன்மைகளையும் சமீபத்தில் [2] விளக்கியுள்ளார்.

அஸிட்டாபுலேரியா அசிடாபுலம் (Acetabularia acetabulum) என்பது ஒரு பாசி, ஆல்கேயின் (algae) பெயர். இப்படிப்பட்ட உயிரினங்களின் வளர்ச்சி உருவ அமைப்பு பற்றி படிப்பது உருமாறுதோற்றவியல். ஆங்கிலத்தில் மார்ஃபோஜெனிசிஸ். இப்படிப்பட்ட பாசிகள் வளருகையில் முறையே கூம்பாகவும், தட்டையான வட்டமாகவும் வடிவங்கள் பெற்று வளர்கிறது. இது போன்ற மிருதுவான டிஷ்யூக்களின் (டிஷ்யூ தமிழ் சொல்: இழையம்) உருமாறுதோற்றவியலை மேற்கூறிய கோளாரான வடிவியலைக் கொண்டு விளக்க முடியும் என்று சமீபத்தில் [1] யூகித்துள்ளனர்.

மேலும் ஆராய்ச்சி வளர்ந்தால் செடிகளின் உருமாற்றங்களையும் இப்படிப்பட்ட வடிவியலைக்கொண்டு விளக்க முடியும் என்று விஞ்ஞானிகள் நம்புகின்றனர். பார்ப்போம்.

ஒரு சுவையான ஒட்டு. சல்வடார் டாலி என்று ஒரு ஓவியர் இருந்தார். கேள்விப்பட்டிருக்கலாம். டாலியின் ஒரு பிரசித்தி பெற்ற ஓவியம் Persistence of Memory. மேற்கூறிய வடிவியல் விளக்கத்துடன் கடிகாரங்கள் (நினைவுகள்) வழிந்தோடும் இவ்வோவியத்தை (யோசித்துப்) பாருங்கள்.

the_persistence_of_memory(கலை) அழகிலிருந்தே (வடிவியல்) அறிவியல் தோன்றுவதற்கு இது ஒரு உதாரணம்.

முடிக்கும்முன், அறிவியல் சிந்தையை பற்றி கட்டுரையின் விஷயத்தை வைத்து ஒரு உப ஒட்டு.

இதில் வேறு ஒன்றும் இல்லை, இதைப்பற்றி அறிவியல் கணித விஷயங்கள் மொத்தமும் தெரிந்தாகிவிட்டது என்ற தோரணையில் வட்டத்தை பள்ளியில் பார்த்து, “இதுக்குமேல இதுனால என்ன யூஸ்?” என்று அதன் கூற்றுகளையும் கோணங்களையுமே பள்ளிப்பரிட்சையோடு மறக்க நான் எத்தனித்திருக்கிறேன். பலதை மறந்துமிருக்கிறேன். ஆனால் யோசித்துப்பாருங்கள், வடிவியல் ஆராய்ச்சி என்று இந்த கட்டுரையில் நாம் சந்தித்ததெல்லாம் பள்ளியிலிருந்தே நமக்கு நன்றாகத் தெரிந்த வட்டத்திலிருந்து தொடங்கியதுதான்.

அறிவியலில் எந்த விஷயத்தையும் சாறு பிழிந்தாகிவிட்டது என்று அவ்வளவு சுலபமாக சக்கையாக்கிவிடமுடியாது. ஆனால் பள்ளியில், கல்லூரியில் படிக்கையில் பலநேரங்களில் நாம் இவ்வாறு ‘மூடிய கல்வியாக’ பல விஷயங்களை சக்கையாக நினைத்துவிடுகிறோம். பரிட்சையிலும் சக்கை(யை)போடுவோம். பிறகு வேலைக்குபோய் ரிடையர் ஆகிவிடுவோம். இடையில் நம் மக்களை ‘நன்றாக’ படிக்கவைப்போம்.

இதைப்பற்றி நிறைய கேள்வி கேள், எந்த விதியையும், விஷயத்தையும் நான் கூறுவதால் மட்டும், நீ படித்ததால் மட்டும் ஏற்காதே. அறிவியல் மனைவி இல்லை. தாராளமாக சந்தேகப்படு. ஆரோக்கியமாக. அறிவியல் கற்றார் விஷயமும் இல்லை. கேள்வி கேள். சோம்பலிக்காமல் முடிந்தவரை பதிலுரைக்கவும் முற்படு. கறார் விஷயம் இல்லை. அதனுடன், அதனை வைத்து அதற்காகவே விளையாடு. மாற்றிக் கூறி அநேகர் பயங்காட்டினாலும் பயப்படாதே. பள்ளியில் படித்த வட்டம் இன்னமும் இளவட்டம்தான்.

இப்படியெல்லாம் எனக்கு கொட்டாவி வருகையில் நிறுத்திக்கொள்ளும் அளவிற்கு வசனம் பேசி, முதுகில் தட்டி, அதட்டி, வலிக்காமல் அடித்து, என்னையும் சற்று சிந்திக்கத் தூண்டியிருந்தால், வட்டம் அதன் விதிகள் பற்றி தெரிந்த நானும் ஒருவேளை இந்த வறுவல் வடிவியலை பள்ளியிலேயே யோசித்திருப்பேன்.

மாத்தனும் சார், எல்லாத்தயும் மாத்தனும்…

கட்டுரை சுட்டிகள்

  1. Morphogenesis of Growing Soft Tissues, Julien Dervaux and Martine Ben Amar, Phys. Rev. Lett. 101, 068101 (issue of 8 August 2008)
  2. Conical Defects in Growing Sheets, Martin Michael Müller, Martine Ben Amar, and Jemal Guven, Phys. Rev. Lett. 101, 156104 (issue of 10 October 2008)